TEMAS SELECTOS DE MATEMAICAS: bloque 4

matematicas financieras

La Matemática Financiera es el campo de la matemáticas aplicada, que analiza, valora y calcula materias relacionadas con los mercados financieros, y especialmente, el valor del dinero en el tiempo.
las matemáticas financieras se ocuparán del cálculo del valor, tipo de interés o rentabilidad de los distintos productos que existen en los mercados financieros (depósitos, bonos, préstamos, descuento de papel, valoración de acciones, cálculos sobre seguros, etc). Para presentarlas, se seguirá un proceso secuencial desde lo más sencillo, el tipo de interés simple, hasta los cálculos más complejos, que consistirán en el valor actual o futuro de rentas temporales y/o infinitas. Por tanto, en el estudio de las matemáticas financieras.

INTERES SIMPLE
En primer lugar debemos tener claro que es el interés en este contexto, que se puede definir como la cantidad (normalmente expresada el porcentaje o tasa) me mide la relación de intercambio entre el valor del dinero en dos momentos determinados de tiempo.

Cuando una persona (prestamista) le presta a otra (prestatario) un dinero hoy, espera que en un futuro el prestatario se lo devuelva, pero que además le de una cantidad adicional en contraprestación, esto es el interés. Que, volvemos a recordar, suele expresarse en porcentaje.

Para entender el concepto de interés simple y compuesto, sin duda, la mejor forma es atender a unos ejemplos ( interes compuesto). Supongamos un préstamo de 10.000 durante 1 año que genera un interés anual del 5%. No será lo mismo que esos intereses se paguen en dos veces (cada seis meses), frente a que se paguen de una vez al final. En el primer caso, el prestamista recibirá el dinero en dos veces, primero 250 a los seis meses y después 10.250 al final del año. Por su parte, en el segundo caso, el prestamista recibirá todo el dinero a la vez 10.500 al final del año. Pero donde está la diferencia, pues en que en el primer caso el prestamista podrá invertir esos 250 que cobra previamente y obtener una rentabilidad, por lo que, si suponemos que también los puede invertir a un 5% anual durante los seis meses que quedan, obtendría 250*5%/2=6,25. Por tanto, en el primer caso el prestamista obtendría al final del año 10.000+250+250+6,25=10.506,25.
Ese 5% del enunciado del ejemplo será lo que se denomina interés simple, mientras que el interés compuesto será, en este caso, el interés equivalente que se obtiene por el hecho de reinvertir los cobros intermedios. Así, podríamos calcular el interés compuesto con una regla de tres:
10.500 --> 5%
10.506,25 --> X = 5,0625%, ya que el interés simple no es del 5% anual sino del 5% pagadero semestralmente que no es lo mismo.
Esta diferencia, que puede parecer pequeña, cuando se considera en operaciones de mucho volumen o mucha duración puede provocar diferencias sustanciales.

Fórmula Interés Simple

Interés = Cantidad x Tipo de Interés x Plazo

Interés.- Como el importe que se percibirá o pagará en contraprestación
Cantidad.- Como el importe sobre el que se pagará o cobrará intereses
Tipo de interés.- Como la tasa o porcentaje que se cobrará o pagará si la operación durase un año
Plazo.- Como la duración de la operación, expresado en cantidad de años.

INTERES COMPUESTO.

Al igual que con el interés simple, donde ya pusimos un primer ejemplo. Consideramos que la mejor manera de entender la necesidad y funcionamiento del interés compuesto es mediante un ejemplo. Imaginemos que nos ofrecen la opción de invertir 10.000 en dos depósitos a 3 años. El primer depósito para un 10% te tipo de interés al año y paga esos intereses al final de cada año. Por su parte, el segundo depósito pagará un 10% anual de tipo de interés, pero en lugar de pagar los intereses al final de cada año, los pagará todos al final de los tres años.
Si ambos depósitos pagan el mismo tipo de interés, parecería lógico pensar que la ganancia al final debería ser la misma, pero, ¿es realmente así?. Analicemos cada caso.
1- Si cobraremos 1.000 al final de cada año, los intereses del primer año serán 1.000, pero y los del segundo. El segundo año volveremos a cobrar 1.000 provenientes del depósito de 10.000, pero también podremos cobrar intereses de los 1.000 de intereses que ya tenemos en nuestro poder. Si esta cantidad la invertimos también al 10% obtendríamos 100 adicionales por lo que los intereses del segundo año serían 1.100 y no 1.000. Lo mismo sucedería en el tercer año, por un lago cobraríamos los 1.000 del depósito, pero aún nos faltaría por contabilizar los intereses por invertir los intereses de los dos años anteriores que, recordemos, ascendía a 2.100. Así, el 10% de 2.100 serían 210 adicionales. Por tanto, al cabo de los tres años tendríamos 10.000+1.000+1.000+100+1.000+210=13.310.
2- En el caso del segundo depósito, los intereses se pagaban todos al final. Si utilizásemos la formulación del interés simple, la cantidad de intereses sería: 10.000 x 10% x 3 = 3.000 por lo que al final tendríamos 13.000 que es menos que en el caso 1. Para resolver esta diferencia, en aquellas operaciones que generan intereses con una duración superior a un año (como ya mencionamos e el interés simple), el cálculo de intereses utiliza la formulación del interés compuesto que tiene en consideración los intereses que generan los pagos intermedios.
Interés=10.000*(1+10%)³=3.310, que sumados al principal darán los mismos 13.310 que en el caso 1.

Fórmula Interés Compuesto

Interés = Cantidad x (1 + Tipo de Interés) ^Plazo -1
Interés.- Como el importe que se percibirá o pagará en contraprestación
Cantidad.- Como el importe sobre el que se pagará o cobrará intereses
Tipo de interés.- Como la tasa o porcentaje que se cobrará o pagará si la operación durase un año
Plazo.- Como la duración de la operación, expresado en cantidad de años.

VALOR FUTURO

Poseer un dólar o un euro hoy no vale lo mismo que poseerlo dentro de un año. Si dispusiera ahora mismo de él, podría invertirlo, ganar un interés y transcurrido un año usted tendría algo más que un euro.Pero, porque se utiliza el interés compuesto y no el interés simple. Como ya vimos en la explicación del interés compuesto, este tiene en consideración los intereses que generarán los propios intereses intermedios. Esta consideración, es imprescindible para poder diferenciar operaciones con pagos intermedios frente a operaciones que no los tienen. Al calcular el valor futuro de una cantidad, no se producirán pagos intermedios anuales, por lo que deberemos utilizar el interés compuesto.
Una sencilla forma de entender porque utilizar uno u otro, es calcular el valor futuro de una misma cantidad utilizando ambos intereses. El valor futuro utilizando el interés simple crecerá linealmente, mientras que el valor futuro calculado utilizando el interés compuesto lo hará de forma creciente y exponencial ya que, la no recepción de pagos intermedios hará que los intereses se calculen, cada año, sobre una cantidad mayor.

Fórmula del Valor Futuro

VF_n = VA x (1+k)ⁿ
VF.- Valor futuro
VA.- Valor presente o actual
k.- Tipo de interés
n.- plazo, normalmente expresado en años.

VALOR PRESENTE
Igual que en el apartado anterior obtuvimos el valor futuro de una cantidad presente, a través de calcular cuanto podríamos obtener de ella si la invertíamos hasta una fecha determinada, también podemos obtener el valor presente de una cantidad que esperamos recibir en algún momento del futuro.

El cálculo sería a la inversa, si antes añadíamos a la cantidad los intereses generados, en este caso se los descontaremos/quitaremos.
Por ejemplo, si vamos a recibir 1.000 dentro de tres años y queremos saber cuanto valen hoy, deberemos descontar los intereses que se generarán desde hoy hasta dentro de tres años. Si el tipo de interés es del 4% anual en operaciones a 3 años, responderemos a la pregunta ¿Qué cantidad debo invertir hoy para tener 1.000 dentro de tres años? En este caso 889, por lo que, si no necesitásemos, podríamos recibir esta cantidad en lugar de los 1.000 dentro de 3 años.
Al contrario que en el valor futuro, en este caso a incógnita no el valor futuro VF sino el actual o presente VA.

Fórmula valor presente

VA = VF_n / (1+k)ⁿ
VF.- Valor futuro
VA.- Valor presente o actual
k.- Tipo de interés
n.- plazo, normalmente expresado en años.
Si comparamos con la fórmula del valor futuro, únicamente estamos despejando el valor presente, no siendo una nueva fórmula como tal.

RENTA TEMPORAL

El siguiente paso en la matemáticas financieras, es calcular el valor de una renta. Con objeto de su estudio, distinguiremos dos tres casos por orden de complejidad de sus cálculos, de más complejo a menos complejo:

Renta temporal en que las candidades o flujos NO tienen una relación de proporcionalidad (la renta de cada periodo es distinta al anterior y no siguen ningún patrón). Habituales en los flujos esperados del beneficio de una empresa,...
Rentas temporales en que las cantidades o flujos SI tienen una relación de proporcionalidad (la renta de cada periodo es igual al anterior o sigue un patrón de crecimiento o decrecimiento). Habituales en los flujos esperados de deuda pública, bonos, depósitos, ...
Rentas infinitas en que las cantidades o flujos SI tienen una relación de proporcionalidad (la renta de cada periodo es igual al anterior o sigue un patrón de crecimiento o decrecimiento). Habituales para la valoración inversiones sin vencimiento como acciones, rentas vitalícias, pensiones,...

El primer caso, el más genérico, corresponde, como ya hemos avanzado, a una renta de una duración determinada, en que las cantidades percibidas son distintas y sin relación entre ellas. Estas, nos permitirán explicar el concepto y posteriormente relacionarlas con los casos 2 y 3 que son casos específicos de este.

Antes de comenzar a analizar cada caso, si debemos precisar que, en estos casos, siempre utilizaremos el interés compuesto. También, debemos señalar que es especialmente importante para evitar errores, y antes de comenzar ningún cálculo, hacer la representación gráfica de los flujos, que consistirá en hacer una linea en la que indicaremos en que momento temporal se percibe cada cantidad. Esta herramienta nos permitirá asegurarnos cuantos periodos debemos descontar cada una de las cantidades.

Siguiendo la imagen de la derecha, imaginemos una renta de las cantidades Q1, Q2, Q3,... que se cobran al final de cada periodo, 1, 2, 3,... El valor presente de esa renta temporal, consistirá simplemente en calcular el valor presente de cada una de las cantidades que componen la renta, tal y como representa la fórmula.
A partir de este sencillo ejemplo, podremos construir casos más complejos donde las cantidades tampoco sigan un patrón temporal, renta temporal no periodica

sino que se cobren en distintos momentos del tiempo, pero la base seguirá siendo la misma; el valor presente de las cantidades que componen la renta. Un ejemplo sería esta segunda imagen, donde los flujos no se producen al final de cada periodo, sino que se producen, Q1 a la mitad del primer periodo, Q2 entre el 2º y el 3º y Q3 al final del 3º. Además, se podría seguir complicando, considerando que el tipo de interés anual es distinto para cada cantidad, ya que no es lo mismo una operación aun año que a tres años (si por un depósito a 1 año pedimos un 5% anual, para un depósito a 3 años normalmente pediremos más de un 5% anual).
Como vemos, la parte más importante para el cálculo del valor de una renta, es comprender el momento temporal en que cada cantidad se produce, que es la base para conocer por cuanto tiempo deberemos retraerlo hasta el momento presente.

Fórmula renta temporal

Teniendo en cuenta el caso más genérico, podría expresarse como sigue:

donde
VA.- Valor actual o presente de la renta considerada
Q1, Q2, Q3,... serían las cantidades que componen la renta
n1, n2, n3,... serían el momento temporal en que se recibe cada cantidad de la renta
k1, k2, k3,... serían los tipos de interés para cada periodo
Además de los casos expuestos, donde hemos calculado el valor actual o presente, puede ser necesario el cálculo del valor futuro, como sería el caso del valor futuro de un plan de ahorro, por ejemplo, al que aportamos una cantidad mensual, trimestral o anual, que nos permitirá conocer que cantidad tendremos al final/vencimiento del producto. En este caso, en lugar de dividir cada flujo por el interés compuesto hasta el momento presente, únicamente deberemos multiplicar por ese interés compuesto hasta el momento futuro que deseemos.

RENTA INFINITA
Este, es el último caso particular de rentas que analizaremos, y consiste en una renta que cobraremos por duración infinita (un buen ejemplo serían las pensiones de jubilación, pero también productos comercializados por las aseguradoras aunque menos conocidos). En este caso, también distinguiremos entre renta constante y creciente (por ejemplo rentas actualizadas con la inflación). renta infinita constante

Para el caso de las rentas constantes nos encontraríamos en la figura de la derecha. Al ser infinitos periodos, y sustituyendo en la misma fórmula que utilizamos para las rentas temporales constantes, tendríamos que (1+k)^∞ =0 lo que nos daría la expresión final.
renta infinita creciente

En el segundo caso, en el que las rentas crecen siguiendo una proporción g, sucedería algo similar, desapareciendo la mayor parte del numerador, tal y como se puede apreciar en la figura de la derecha.
Por último, señalar también que, al igual que en las rentas temporales, no siempre las rentas se producen al final de cada periodo, sino que estas pueden producirse al principio de cada uno. En este caso, el valor actual/presente calculado con las fórmulas anteriores sería el valor calculado en el momento 1, no en el momento 0, por lo que únicamente deberíamos multiplicar el valor actual, así calculado, por (1+k) para anticipar un periodo toda la cantidad.

domingo, 4 de mayo de 2014

sistemas de numeracion

historia
Desde el principio de los tiempos ha existido la necesidad de contar, cuando los hombres sentían esa necesidad recurrían inevitablemente a los dedos o a pequeños guijarros, pero esto no abarcaba un gran número por lo que cuando se llegaban a cifras altas normalmente se hacía una marca específica y se seguían contando unidades a partir de ahí. Esta marca o número es la base. Así es como surge el concepto de base.
Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico.
   En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase . Cuando se alcanza un número determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente.
La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 según todas las apariencias por ser ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción notable como son las numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases y la numeración maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad.
  Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los numeros ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo.
  Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de simbolos que los hace poco prácticos.

FUNCIONALIDAD DE SISTEMAS DE NUMERACION

Un sistema de numeración es una forma unánimemente aceptada por la humanidad de contar las cosas. Aunque hay que decir, que no todos los seres humanos tienen el mismo sitemas de numeración.
Todos tienen la necesidad de contar, de agrupar, todos tienen símbolos para expresarse pero no los mismos.

Tiene la finalidad de comunicarnos
Para qué queremos representar números? Si tu ya sabes que número de cosas tienen solo lo puedes querer representar para decírselo a otra persona.
No podemos trabajar de memoria con cifras grandes por lo que las agrupamos y codificamos para que nos sea más fácil.
Para explicar para qué sirven los sistemas de numeración vamos a poner un ejemplo muy curioso:
Imagínate que un hindú de la antigüedad en su primera cosecha consigue 10 sacos de trigo. De esos 10 vende 3 para comprar ropa a su familia. Como va aprendiendo, al año siguiente consigue 20 sacos y así sucesivamente hasta que llega un momento en que puede hacer negocio con sus plantaciones y ofrecer a su familia una vida mejor con un palacio en la montaña y clases de bailes de ombligo para sus hijas.
Pero el problema es que al principio podía llevar la cuenta de lo cultivado con los dedos de la mano, pero ahora cultiva tanto que no sabe realmente cuanto ha sacado de diferencia respecto al año anterior.
Entonces se le ocurre una solución. Cada 10 sacos que consiga los va a meter en un cajón y cada 10 cajones en una habitación. A la hora de vender la mercancía sabe que cada habitación contiene 10 de 10 sacos. Según las habitaciones que llene cada año habrá conseguido más o menos beneficios. Para tenerlo aun mas claro cada cajón lo simboliza con un cuadrado y así el agricultor sabe que un cajo son 10 y 2 son 20. y una habitación son 100 y 2 son 200. A la habitación le ha dado el símbolo de un cuadrado mayor puesto que así es.
En este caso el agricultor a hecho una agrupación puesto que le resultaba imposible llevar la cuenta de todo lo que plantaba.

SISTEMA BINARIO OPERACIONES MATEMATICAS (SUMA RESTA MULTIPLICACION Y DIVICION)

Suma de números Binarios

Las posibles combinaciones al sumar dos bits son

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

  100110101
    +  11010101
    ———————————
     1000001010


Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1 (este "1" se llama  arrastre). A continuación se suma el acarreo a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal).






Resta de números binarios


El algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.


Las restas básicas 0-0, 1-0 y 1-1 son evidentes:


0 - 0 = 0
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0
0 - 1 = no cabe o se pide prestado al proximo.



La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 10 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en decimal, 2 - 1 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente. Veamos algunos ejemplos:

Restamos 17 - 10 = 7 (2=345)          Restamos 217 - 171 = 46 (3=690)
        10001                           11011001    
       -01010                          -10101011
       ——————                          —————————
        01111                           00101110

Apesar de lo lo sencillo que es el procedimiento, es fácil confundirse. Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecánicamente, sin detenernos a pensar en el significado del arrastre. Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones:


Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos cómo se divide una resta larga en tres restas cortas:


        100110011101             1001     1001     1101
       -010101110010            -0101    -0111    -0010
       —————————————      =     —————    —————    —————
        010000101011             0100     0010     1011



Utilizando el complemento a dos. La resta de dos numeros binarios  puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo. Veamos algunos ejemplos. Hagamos la siguiente resta, 91 - 46 = 45, en binario:


        1011011                                             1011011
       -0101110               C2 de 46 = 1010010           +1010010
       ————————                                            ————————
        0101101                                            10101101



En el resultado nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. Pero, como el número resultante no puede ser más largo que el minuendo, el bit sobrante se desprecia.


Un último ejemplo: vamos a restar 219 - 23 = 196, directamente y utilizando el complemento a dos:

        11011011                                            11011011
       -00010111               C2 de 23 = 11101001         +11101001
       —————————                                           —————————
        11000100                                           111000100



Y, despreciando el bit que se desborda por la izquierda, llegamos al resultado correcto: 11000100 en binario, 196 en decimal.





Utilizando el complemento a 1. La resta de dos números binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a uno del sustraendo y a su vez sumarle el bit de overflow (bit que se desborda).







Producto de números binarios


El algoritmo del producto en binario es igual que en números decimales; aunque se lleva cabo con más sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier número da 0, y el 1 es el elemento neutro del producto.


Por ejemplo, multipliquemos 10110 por 1001:

        10110       
         1001                    
    —————————          
        10110               
       00000                
      00000                
     10110                
    —————————           
     11000110



En sistemas electronicos , donde se suelen utilizar números mayores, no se utiliza este método sino otro llamado algoritmo booth.






División de números binarios


La division en binario es similar a la decimal, la única diferencia es que a la hora de hacer las restas, dentro de la divicion, estas deben ser realizadas en binario. Por ejemplo, vamos a dividir 100010010 (274) entre 1101 (13):

 100010010 |1101
            ——————
- 0000      010101
———————
 10001
- 1101
———————
  01000
 - 0000
 ———————
   10000
  - 1101
  ———————
    00111
   - 0000
   ———————
     01110
    - 1101
    ———————
     00001 



OPERACIONES CON SISTEMA DE NUMERACION OCTAL 


Este sistema solo puede trabajar con los números


1, 2, 3, 4, 5, 6, 7








multiplicacion





 resta





 SUMA


















divicion



































HISTORIA LOGICA MATEMATICA








La LOGICA MATEMATICA es una parte de la lógica y las matemáticas que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la lógica filosófica.


La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican o definen nociones intuitivas de objetos matemáticos comoconjuntos, números, demostraciones y algoritmos, utilizando un lenguaje formal.


La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas. Actualmente se usan indiferentemente como sinónimos las expresiones: lógica simbólica (o logística), lógica matemática, lógica teorética y lógica formal.¹


La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente. 


Lógica proposicional



La lógica proposicional (o lógica de orden cero) es un lenguaje formal en el que no existen variables ni cuantificación, eso implica que cualquier secuencia de signos que constituya una fórmula bien formada de la lógica proposicional admite una valoración en la proposición es cierta o falsa dependiendo del valor de verdad asignado a las proposiciones que la compongan. En otras palabras en la lógica proposicional cualquier fórmula bien formada define una función proposicional. Por tanto, cualquier sistema lógico basado en la lógica proposicional es decidible y en un número finito de pasos puede determinarse la verdad o falsedad semántica de una proposición. Esto hace que la lógica proposicional sea completa y muy sencilla de caracterizar semánticamente.





TABLAS DE LA VERDAD


Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar.¹


Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico-philosophicus, publicado en 1921.


TABLAS DE LA VERDAD EN PROPOSICIONES COMPUESTAS 


En realidad toda la lógica está contenida en las tablas de verdad, en ellas se nos manifesta todo lo que implican las relaciones sintácticas entre las diversas proposiciones.


No obstante la sencillez del algoritmo, aparecen dos dificultades.



La gran cantidad de operaciones que hay que hacer para una proposición con más de 4 variables.




Esta dificultad ha sido magníficamente superada por la rapidez de los ordenadores, y no presenta dificultad alguna.



Que únicamente será aplicable a un esquema de inferencia, o argumento cuando la proposición condicionada, como conclusión, sea previamente conocida, al menos como hipótesis, hasta comprobar que su tabla de verdad manifiesta una tautología.




Por ello se construye un cálculo mediante cadenas deductivas:


Las proposiciones que constituyen el antecedente del esquema de inferencia, se toman como premisas de un argumento.


Se establecen como reglas de cálculo algunas tautologías como tales leyes lógicas, (pues garantizan, por su carácter tautológico, el valor V).


Se permite la aplicación de dichas reglas como reglas de sustitución de fórmulas bien formadas en las relaciones que puedan establecerse entre dichas premisas.


Deduciendo mediante su aplicación, como teoremas, todas las conclusiones posibles que haya contenidas en las premisas.


Cuando en un cálculo se establecen algunas leyes como principios o axiomas, el cálculo se dice que es axiomático.


El cálculo lógico así puede utilizarse como demostración argumentativa.

miércoles, 12 de marzo de 2014

matrices

TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICAS ( MATRICES)

MATRICES

En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

HISTORIA.

El origen de las matrices es muy antiguo. Los cuadrados latinos y los cuadrados mágicos se estudiaron desde hace mucho tiempo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 a. C.²

Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemáticochino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas.³ En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonés Seki Kōwa en 1683 y el matemático alemánGottfried Leibniz en 1693.

Los "cuadrados mágicos" eran conocidos por los matemáticos árabes, posiblemente desde comienzos del siglo VII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemáticos y astrónomos de la India, junto con otros aspectos de las matemáticas combinatorias. Todo esto sugiere que la idea provino de China. Los primeros "cuadrados mágicos" de orden 5 y 6 aparecieron en Bagdad en el 983, en la Enciclopedia de la Hermandad de Pureza (Rasa'il Ihkwan al-Safa).²

Después del desarrollo de la teoría de determinantes por Seki Kowa y Leibniz para facilitar la resolución de ecuaciones lineales, a finales del siglo XVII, Cramer presentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de Gauss-Jordan en el siglo XIX.

Fue James Joseph Sylvester quien utilizó por primera vez el término « matriz » en 1848/1850.

En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con nincógnitas.

Cayley, Hamilton, Hermann Grassmann, Frobenius, Olga Taussky-Todd y John von Neumann cuentan entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría de las matrices. En 1925,Werner Heisenberg redescubre el cálculo matricial fundando una primera formulación de lo que iba a pasar a ser la mecánica cuántica. Se le considera a este respecto como uno de los padres de la mecánica cuántica.

DEFINICIÓN Y NOTACIÓN.

Una matriz es un arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con n filas y m columnas se le denomina matriz n-por-m (escrito $n\times m$ ) donde $n,m\in \mathbb{N}-\{0\}$ . El conjunto de las matrices de tamaño $n\times m$ se representa como $\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ , donde $\mathbb{K}$ es el campo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después. Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismo tamaño y los mismos elementos en las mismas posiciones.

A la entrada de una matriz que se encuentra en la fila $i-\,\!$ ésima y la columna $j-\,\!$ ésima se le llama entrada $i,j\,\!$ o entrada $(i,j)\,\!$ -ésimo de la matriz. En estas expresiones también se consideran primero las filas y después las columnas.

Casi siempre se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar las entradas de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz $A$ de tamaño $n\times m$ que se encuentra en la fila $i-\,\!$ ésima y la columna $j-\,\!$ ésima se le denota como $a_{ij}\,\!$ , donde $1\leq i\leq n$ y $1\leq j\leq m$ . Cuando se va a representar explícitamente una entrada la cuál está indexada con un $i\,\!$ o un $j\,\!$ con dos cifras se introduce una coma entre el índice de filas y de columnas. Así por ejemplo, la entrada que está en la primera fila y la segunda columna de la matriz $A\,\!$ de tamaño $50\times 100$ se representa como $a_{1,2}\,\!$ mientras que la entrada que está en la fila número 23 y la columna 100 se representa como $a_{23,100}\,\!$ .

Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros objetos matemáticos. Así $\mathbf{A}$ es una matriz, mientras que $A\,\!$ es un escalar en esa notación. Sin embargo ésta notación generalmente se deja para libros y publicaciones, donde es posible hacer ésta distinción tipográfica con facilidad. En otras notaciones se considera que el contexto es lo suficientemente claro como para no usar negritas.

Otra notación, en si un abuso de notación, representa a la matriz por sus entradas, i.e. $A:=(a_{ij})\,\!$ o incluso $A:=a_{ij}\,\!$ .

Otra definición, muy usada en la solución de sistemas de ecuaciones lineales, es la de vectores fila y vectores columna. Un vector fila o vector renglón es cualquier matriz de tamaño $1\times n$ mientras que un vector columna es cualquier matriz de tamaño $m\times 1$ .

A las matrices que tienen el mismo número de filas que de columnas, $m=n\,\!$ , se les llama matrices cuadradas y el conjunto se denota $\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{K})$ o alternativamente $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ .

EJEMPLO.

Dada la matriz $A\in\mathcal{M}_{4\times 3}(\mathbb{R})$

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4 & 9 & 2 \\ 6 & 0 & 5 \end{bmatrix}$

es una matriz de tamaño $4\times 3$ . La entrada $a_{23}\,\!$ es 7.

La matriz $R\in\mathcal{M}_{1\times 9}(\mathbb{R})$

$R = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$

es una matriz de tamaño $1\times 9$ : un vector fila con 9 entradas.

SUMA O ADICIÓN.

Sean $A,B\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ . Se define la operación de suma o adición de matrices como una operación binaria $+:\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\times\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\longrightarrow\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ tal que $(A,B)\mapsto C=A+B$ y donde $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\,\!$ en el que la operación de suma en la última expresión es la operación binaria correspondiente pero en el campo $\mathbb{K}$ . Por ejemplo, la entrada $c_{12}\,\!$ es igual a la suma de los elementos $a_{12}\,\!$ y $b_{12}\,\!$ lo cual es $a_{12}+b_{12}\,\!$ .

Veamos un ejemplo más explícito. Sea $A,B\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 & 3+0 & 2+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

No es necesario que las matrices sean cuadradas:

$\begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 4 \end{bmatrix} \quad + \quad \begin{bmatrix} 0 & 1 & 4 \\ 1 & 4 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{bmatrix} \quad = \quad \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 4 & 6 & 1 \\ 4 & 4 & 3 \\ 2 & 2 & 6 \end{bmatrix}$

A la luz de éstos ejemplos es inmediato ver que dos matrices se pueden sumar solamente si ambas tienen el mismo tamaño. La suma de matrices en el caso de que las entradas estén en uncampo serán la asociatividad, la conmutatividad, existencia de elemento neutro aditivo y existencia de inverso aditivo. Ésto es así ya que éstas son propiedades de los campos en los que están las entradas de la matriz. A continuación se presentan las propiedades.

PROPIEDADES.

Sean $A,B,C\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ , donde $\mathbb{K}$ es un campo entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación binaria $+$

Asociatividad

$(A+B)+C=A+(B+C)\,\!$

Demostración. Dada la definición de la operación binaria $+\,\!$ se sigue el resultado ya que $(a_{ij}+b_{ij})+c_{ij}=a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij})\,\!$ debido a que $a_{ij},b_{ij},c_{ij}\in\mathbb{K}$ para todo $i,j\,\!$ .

Conmutatividad

$(A+B)=(B+A)\,\!$

Demostración Dada la definición de la operación binaria $+\,\!$ se sigue el resultado ya que $a_{ij}+b_{ij}=b_{ij}+a_{ij}\,\!$ debido a que $a_{ij},b_{ij}\in\mathbb{K}$ para todo $i,j\,\!$ .

Existencia del elemento neutro aditivo

Existe $0\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ tal que

$A+0=0+A=A\,\!$

Demostración Tómese $0\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ tal que $0_{ij}=0_{\mathbb{K}}\in\mathbb{K}$ para cualquier $i,j\,\!$ (dónde este último es el elemento neutro aditivo en el campo, el cual existe necesariamente). Entonces para cualquier $A\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ se sigue que $A+0=A\,\!$ ya que $a_{ij}+0_{ij}=a_{ij}+0_{\mathbb{K}}=a_{ij}$ para cualquier $i,j\,\!$ , dado que las entradas están en un campo.

Existencia del inverso aditivo

Existe $D\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ tal que

$A+D=0\,\!$

a esta matriz $D\,\!$ se le denota por $-A\,\!$ .

Demostración Dada $A\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ tómese $D\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ tal que $A+D=0\,\!$ . Entonces $a_{ij}+d_{ij}=0_{ij}=0_{\mathbb{K}}$ ; luego, por las propiedades de campo $d_{ij}=-a_{ij}\,\!$ donde $-a_{ij}\,\!$ es el inverso aditivo de $a_{ij}\,\!$ en el campo para cualquier $i,j\,\!$ .

En efecto, éstas propiedades dependen el conjunto en el que estén las entradas, como se ha dicho antes, aunque en las aplicaciones generalmente los campos usados son $\mathbb{R}$ (los números reales) y $\mathbb{C}$ (los números complejos).

Por como se definió la operación binaria adición se dice que ésta operación es una operación interna por lo que se cumple intrínsecamente la propiedad de que $\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ es cerrado bajo adición. Con éstas propiedades se tiene que $(\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K}),+)$ es un grupo abeliano.

En el caso en que el conjunto al que pertenecen las entradas de la matriz sea un anillo $(A,+_{A},\cdot_{A})$ , la operación de adición de matrices continúa dotando de estructura de grupo abeliano a $(\mathcal{M}_{n\times m}(A),+)$ , ya que bajo un anillo $(A,+_{A},\cdot_{A})$ se tiene que $(A,+_{A})\,\!$ es un grupo abeliano. En el caso de que las entradas estén en un grupo $(G,+_{G})\,\!$ , éste necesita ser ungrupo abeliano para que la adición de matrices siga dotando de estructura de grupo abeliano a $(\mathcal{M}_{n\times m}(G),+)$ .

PRODUCTO POR ESCALAR.

Sean $A\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ y $\lambda\in\mathbb{K}$ . Se define la operación de producto por un escalar como una función $\mathbb{K}\times\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\longrightarrow\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ tal que $(\lambda,A)\mapsto B=\lambda A$ y donde $b_{ij}=\lambda a_{ij}\,\!$ en donde el producto es la operación binaria correspondiente pero en el campo $\mathbb{K}$ . Por ejemplo, la entrada $b_{12}\,\!$ es igual al producto $\lambda a_{12}\,\!$ .

Veamos un ejemplo más explícito. Sea $A\in\mathcal{M}_{2\times 3}(\mathbb{R})$ y $2\in\mathbb{R}$

$2 \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(1) & 2(8) & 2(-3) \\ 2(4) & 2(-2) & 2(6) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 12 \end{bmatrix}$

También es inmediato observar que el producto por un escalar da como resultado una matriz del mismo tamaño que la original. También el producto por un escalar dependerá de la estructura algebraica en la que las entradas están. En el caso de que estén en un campo serán dos distributividades (una respecto de suma de matrices y otra respecto de suma en el campo), asociatividad y una propiedad concerniente al producto por el elemento neutro multiplicativo del campo. A continuación se presentan las propiedades.

PROPIEDADES

Sean $A,B\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ y $\lambda,\mu\in\mathbb{K}$ , donde $\mathbb{K}$ es un campo, entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operación producto por un escalar

Asociatividad

$(\lambda\mu)A=\lambda(\mu A)\,\!$

Demostración. Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que $(\lambda\mu)a_{ij}=\lambda(\mu a_{ij})\,\!$ debido a que $a_{ij}\in\mathbb{K}$ para todo $i,j\,\!$ .

Distributividad respecto de la suma de matrices

$\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B\,\!$

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que $\lambda(a_{ij}+b_{ij})=\lambda a_{ij}+\lambda b_{ij}\,\!$ debido a que $a_{ij},b_{ij}\in\mathbb{K}$ para todo $i,j\,\!$ .

Distributividad respecto de la suma en el campo

$(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A\,\!$

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que $(\lambda+\mu)a_{ij}=\lambda a_{ij}+\mu a_{ij}\,\!$ debido a que $a_{ij}\in\mathbb{K}$ para todo $i,j\,\!$ .

Producto por el neutro multiplicativo del campo

$1_{\mathbb{K}}A=A\,\!$

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que $1_{\mathbb{K}}(a_{ij})=a_{ij}$ debido a que $a_{ij}\in\mathbb{K}$ para todo $i,j\,\!$ .

Por como se definió la operación de producto por escalares se dice que $\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ es cerrado bajo producto por escalares. Con éstas propiedades y las de la adición se tiene que $\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ es un espacio vectorial con las operaciones de suma y producto por escalares definidas antes.

En el caso de que las entradas y los escalares no estén en un campo sino en un anillo entonces no necesariamente existe el neutro multiplicativo. En caso de que exista, con lo cual el anillo es un anillo con uno, se dice que $\mathcal{M}_{n\times m}(A)$ es un módulo sobre $A\,\!$ .

Ahora, a partir de las propiedades básicas se puede demostrar inmediatamente que

$\lambda 0=0\,\!$

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que $c_{ij}=\lambda(0_{ij})=\lambda(0_{\mathbb{K}})=0_{\mathbb{K}}$ para todo $i,j\,\!$ .

$0_{\mathbb{K}}A=0$

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que $c_{ij}=0_{\mathbb{K}}(a_{ij})=0_{\mathbb{K}}$ para todo $i,j\,\!$ debido a que $a_{ij}\in\mathbb{K}$ para todo $i,j\,\!$ .

$\lambda A=0\longrightarrow \lambda=0_{\mathbb{K}}\text{ o }A=0$

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que como en un campo no hay divisores de cero entonces $\lambda(a_{ij})=0_{\mathbb{K}}$ para todo $i,j\,\!$ implica que $\lambda=0_{\mathbb{K}}$ o $a_{ij}=0_{\mathbb{K}}$ para todo $i,j\,\!$ , i.e. $A=0\,\!$ . No es posible un caso en el que sólo algunas entradas de la matriz sean cero y el escalar sea no nulo ya que en esos casos estaríamos diciendo que hay divisores de cero y llegaríamos a una contradicción, ya que la suposición es que las entradas y los escalares están en un campo.

$(-\lambda)A=\lambda(-A)\,\!$

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que $(-\lambda)(a_{ij})=(-1_{\mathbb{K}}(\lambda))a_{ij}=(\lambda(-1_{\mathbb{K}}))a_{ij}=\lambda(-1_{\mathbb{K}}(a_{ij}))=\lambda(-a_{ij})$ debido a que $a_{ij}\in\mathbb{K}$ para todo $i,j\,\!$ .

Este último resultado permite usar la notación $-\lambda A\,\!$ sin riesgo de ambigüedad.

PRODUCTO.

El producto de matrices se define de una manera muy peculiar y hasta caprichosa cuando no se conoce su origen. El origen proviene del papel de las matrices como representaciones de aplicaciones lineales. Así el producto de matrices, como se define, proviene de la composición de aplicaciones lineales. En este contexto, el tamaño de la matriz corresponde con las dimensiones de los espacios vectoriales entre los cuales se establece la aplicación lineal. De ese modo el producto de matrices, representa la composición de aplicaciones lineales.

En efecto, en ciertas bases tenemos que $f:V\longrightarrow W$ se puede representar como $f(x)=Ax\,\!$ donde $x\,\!$ es la representación de un vector de $V\,\!$ en la base que se ha elegido para $V\,\!$ en forma de vector columna. Si tenemos dos aplicaciones lineales $f:V\longrightarrow W$ y $g:W\longrightarrow U$ entonces $f(x)=Bx\,\!$ y $g(x)=Ax\,\!$ , luego la aplicación $g\circ f:V\longrightarrow U$ se representará como $g\circ f(x)=g(f(x))=g(Bx)=ABx$ donde $AB\,\!$ es el producto de las representaciones matriciales de $f,g\,\!$ . Nótese que la composición no se puede dar entre cualquier aplicación sino entre aplicaciones que vayan de $V\rightarrow W\rightarrow U\,\!$ , en particular debe de haber una relación entre las dimensiones de los espacios vectoriales. Una vez dicho ésto podemos definir el producto de la siguiente manera.

Sean $A\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ y $B\in\mathcal{M}_{m\times p}(\mathbb{K})$ . Se define el producto de matrices como una función $\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\times\mathcal{M}_{m\times p}(\mathbb{K})\longrightarrow \mathcal{M}_{n\times p}(\mathbb{K})$ tal que $(A,B)\mapsto C=AB$ y donde $c_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}$ para toda $i,j\,\!$ , es decir $c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+a_{i3}b_{3j}+\dots+a_{im}b_{mj}\,\!$ . Por ejemplo, la entrada $c_{12}=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{2j}+\dots+a_{1m}b_{m2}$ .

Veamos un ejemplo más explícito. Sean $A\in\mathcal{M}_{2\times 3}(\mathbb{R})$ y $B\in\mathcal{M}_{3\times 2}(\mathbb{R})$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(3)+0(2)+2(1) & 1(1)+0(1)+2(0) \\ -1(3)+3(2)+1(1) & -1(1)+3(1)+1(0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$

dónde la matriz producto es como habíamos establecido en la definición: una matriz $C\in\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ .

Sin tomar en cuenta la motivación que viene desde las aplicaciones lineales, es evidente ver que si ignoramos la definición de la función de producto de matrices y sólo se toma en cuenta la definición de las entradas, el producto no estará bien definido, ya que si $A\,\!$ no tiene el mismo número de columnas que $B\,\!$ de filas entonces no podremos establecer en donde acaba la suma: si la acabamos en el mayor de éstos números habrá sumandos que no están definidos ya que una de las matrices no tendrá mas entradas, mientras que si tomamos el menor habrá entradas de alguna de las matrices que no se tomen en cuenta. Así es necesario que $A\,\!$ tenga el mismo número de columnas que $B\,\!$ de filas para que $AB\,\!$ exista.

Como se puede suponer también, las propiedades de ésta operación serán más limitadas en la generalidad ya que además de las limitaciones impuestas por la naturaleza de las entradas está esta limitación respecto a tamaño. Es claro, además, que el producto de matrices no siempre es una operación interna.

PROPIEDADES.

Sean $A,B,C\,\!$ matrices con entradas en $\mathbb{K}$ , donde $\mathbb{K}$ es un campo, entonces se cumplen las siguientes propiedades para el producto de matrices (considerando que los productos existan)

Asociatividad

$A(BC)=(AB)C\,\!$

Demostración. Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que, si $A(BC)=AH=R\,\!$ , $r_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}h_{kj}\,\!$ y $h_{ij}=\sum_{\ell=1}^{p}b_{i\ell}c_{\ell j}\,\!$ por lo que $r_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}\sum_{\ell=1}^{p}b_{k\ell}c_{\ell j}=\sum_{\ell=1}^{p}\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{k\ell}c_{\ell j}=\sum_{\ell=1}^{p}s_{i\ell}c_{\ell j}=t_{ij}\,\!$ donde $(AB)C=SC=T\,\!$ debido a que $a_{ij},b_{ij},c_{ij}\in\mathbb{K}$ para todo $i,j\,\!$ . Aquí estamos considerando que $A\,\!$ es $n\times m$ , $B\,\!$ es $m\times p$ y $C\,\!$ es $p\times q$ .

Distributividad respecto de la suma de matrices por la derecha

$(A+B)C=AC+BC\,\!$

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que $\sum_{k=1}^{m}(a_{ik}+b_{ik})c_{kj}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}c_{kj}+b_{ik}c_{kj}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}c_{kj}+\sum_{k=1}^{m}b_{ik}c_{kj}\,\!$ debido a que $a_{ij},b_{ij},c_{ij}\in\mathbb{K}$ para todo $i,j\,\!$ . Aquí estamos considerando que $A\,\!$ es $n\times m$ , $B\,\!$ es $n\times m$ y $C\,\!$ es $m\times p$ .

Distributividad respecto de la suma de matrices por la izquierda

$A(B+C)=AB+AC\,\!$

Demostración Dada la definición de la operación se sigue el resultado ya que $\sum_{k=1}^{m}a_{ik}(b_{kj}+c_{kj})=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}+a_{ik}c_{kj}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}+\sum_{k=1}^{m}a_{ik}c_{kj}\,\!$ debido a que $a_{ij},b_{ij},c_{ij}\in\mathbb{K}$ para todo $i,j\,\!$ . Aquí estamos considerando que $A\,\!$ es $n\times m$ , $B\,\!$ es $m\times p$ y $C\,\!$ es $m\times p$ .

El producto de matrices no es conmutativo, si lo fuera la composición de funciones lineales sería conmutativa y eso en general no sucede. Obviamente existen casos particulares de algunos tipos de matrices en los que si hay conmutatividad. En el caso en que tengamos $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ tendremos que el producto entre matrices en $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ también está en $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ . En ese caso $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ además de espacio vectorial es un álgebra sobre un campo. En el caso de que el conjunto al que pertenecen las entradas sea un anillo conmutativo con uno entonces $\mathcal{M}_{n}(A)$ además de módulo es un álgebra sobre un anillo. Mas aún $(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),+,\cdot)$ con $\cdot$ el producto de matrices es un anillo.

RANGO.

El rango de una matriz $A\,\!$ es la dimensión de la imagen de la aplicación lineal representada por $A\,\!$ , que coincide con la dimensión de los espacios vectoriales generados por las filas o columnas de $A\,\!$ .

TRASPUESTA.

La traspuesta de una matriz $A\in\mathcal{M}_{n\times m}(X)\,\!$ , donde $X\,\!$ no es necesariamente un campo, es una matriz $B\in\mathcal{M}_{m\times n}(X)\,\!$ tal que $b_{ij}=a_{ji}\,\!$ . Por ejemplo la entrada $b_{12}=a_{21}\,\!$ .

Veamos un ejemplo más explícito. Sea $A\in\mathcal{M}_{2\times 3}(\mathbb{R})$

$\begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 6 \end{bmatrix}$

entonces su traspuesta es

$\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 8 & -2 \\ -3& 6 \end{bmatrix}$

Así, informalmente podríamos decir que la traspuesta es aquella matriz que se obtiene de la original cambiando filas por columnas. Las notaciones usuales para denotar la traspuesta de una matriz son $A^{T}, A^{t}\,\!$ .

La trasposición de matrices tiene las siguientes propiedades (donde ahora si el conjunto de entradas debe ser al menos un anillo conmutativo):

$\begin{align} & (A^{T})^{T}=A, \\ & (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}, \\ & (AB)^{T}=B^{T}A^{T}, \\ \end{align}$

Si $A\in\mathcal{M}_{n\times m}(X)\,\!$ representa una aplicación lineal, entonces la matriz $A^{T}\,\!$ describe la traspuesta de la aplicación lineal.

MATRICES CUADRADAS.

Una matriz cuadrada es una matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. El conjunto de todas las matrices cuadradas n-por-n junto a la suma y la multiplicación de matrices, es un anillo que generalmente no es conmutativo.

M(n,R), el anillo de las matrices cuadradas reales, es un álgebra asociativa real unitaria. M(n,C), el anillo de las matrices cuadradas complejas, es un álgebra asociativa compleja.

La matriz identidad I_n de orden n es la matriz n por n en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y todos los demás elementos son iguales a 0. La matriz identidad se denomina así porque satisface las ecuaciones MI_n = M y I_nN = N para cualquier matriz M m por n y N n por k. Por ejemplo, si n = 3:

$\mathbf{I}_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} .$

La matriz identidad es el elemento unitario en el anillo de matrices cuadradas.

Los elementos invertibles de este anillo se llaman matrices invertibles, regulares o no singulares. Una matriz A n por n es invertible si y sólo si existe una matriz B tal que

AB = I_n = BA.

En este caso, B es la matriz inversa de A, identificada por A^-1 . El conjunto de todas las matrices invertibles n por n forma un grupo (concretamente un grupo de Lie) bajo la multiplicación de matrices, el grupo lineal general.

Si λ es un número y v es un vector no nulo tal que Av = λv, entonces se dice que v es un vector propio de A y que λ es su valor propio asociado. El número λ es un valor propio de A si y sólo siA−λI_n no es invertible, lo que sucede si y sólo si p_A(λ) = 0, donde p_A(x) es el polinomio característico de A. p_A(x) es un polinomio de grado n y por lo tanto, tiene n raíces complejas múltiples raíces si se cuentan de acuerdo a su multiplicidad. Cada matriz cuadrada tiene como mucho n valores propios complejos.

El determinante de una matriz cuadrada A es el producto de sus n valores propios, pero también puede ser definida por la fórmula de Leibniz. Las matrices invertibles son precisamente las matrices cuyo determinante es distinto de cero.

El algoritmo de eliminación gaussiana puede ser usado para calcular el determinante, el rango y la inversa de una matriz y para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de la diagonal, lo que equivale a la suma de sus n valores propios.

Una matriz de Vandermonde es una matriz cuadrada cuyas filas son las potencias de un número. Su determinante es fácil de calcular.

COBAO PL-04 "EL TULE"

MATERIA: TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICAS

ALUMNO: HERNÁNDEZ CUEVAS JORGE ALBERTO

GRUPO: 633

TEMAS SELECTOS DE MATEMAICAS

martes, 10 de junio de 2014

bloque 4

matematicas financieras

Fórmula Interés Simple

Fórmula Interés Compuesto

Fórmula del Valor Futuro

Fórmula valor presente

Fórmula renta temporal

domingo, 4 de mayo de 2014

sistemas de numeracion

Suma de números Binarios

Resta de números binarios

Producto de números binarios

División de números binarios

Lógica proposicional

miércoles, 12 de marzo de 2014

matrices

TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICAS ( MATRICES)

No hay comentarios:

Publicar un comentario