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TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICAS

PROPIEDADES DE ORDEN DE LOS NÚMEROS REALES

El conocimiento en el orden de los números es de suma importancia ya que para cualquier operación matemática (suma, resta multiplicación) se necesita saber el valor de cada numero y así mismo el orden para poder saber a que valor nos llevara el resultado de cada operación.
Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado
Existen muchos métodos de aprendizaje como lo son las propiedades de los números por ejemplo las Propiedades de Orden:
Propiedad reflexiva del orden
a ≤ a (a menor o igual que a)
Propiedad anti simétrica del orden
Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b. (Si a es menor o igual que b y b es menor o igual que a, entonces a es igual a b)
Propiedad transitiva del orden
Si a < b y b < c, entonces a < c. (Si a es menor que b, y b es menor que c, entonces a es menor que c)
Lo anterior se debe realizar tomando en cuenta que cada letra es un numero y que las letras iguales representan un numero igual, así mismo las letras diferentes tienen un numero diferente todo esto es en representación para el profesor y para llevarlo a la practica en clase se deberá intercambiar las letras por números correspondientes para no confundir a el alumno ya que la representación de números con letras todavía no corresponde a este nivel o grado escolar educativo.
Los números naturales son aquellos que sirven para contar objetos. Ν es un conjunto ordenado, esto quiere decir, que hay números naturales menores y mayores que otros.

EJEMPLOS DE ORDEN DE LOS NÚMEROS REALES

canicas son más que canicas.
$ es menor que $ , (se tiene menos dinero cuando se debe que cuando se debe ).
$-4^{\circ }$ C es menor que $2^{\circ }$ C, ya que es más alta la temperatura a $2^{\circ }$ C que a $-4^{\circ }$ C.

Podemos escribir las desigualdades anteriores así

NOMENCLATURAS Y CARACTERÍSTICAS PARA REPRESENTAR INTERVALOS

El intervalo real $I\$ es la parte de $\mathbb{R}$ que verifica la siguiente propiedad :

Si $x\$ e $y\$ pertenecen a $I\$ con $x\leq y$ , entonces para todo $z\$ tal que $x\leq z\leq y\$ , se tiene que $z\$ pertenece a $I\$

Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.

Intervalo abierto[editar · editar código]

No incluye los extremos.

$(a,b)\$ o bien $]a,b[\$
Notación conjuntista o en términos de desigualdades:

$I=(a,b),\quad \forall x\in I:\quad a<x<b$

En la definición de límite de una función real se considera como dominio un intervalo abierto.

En la topología usual de la recta ( o ℝ) se usa un intervalo abierto para definir un conjunto abierto en dicha topología. En la topología usual de ℝ, un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto <a, b> es igual a su interior, su frontera es el conjunto {a, b} y su clausura es el intervalo cerrado [a, b]¹ .

Intervalo cerrado[editar · editar código]

Sí incluye los extremos.

Que se indica: $[a,b]\$
Notación conjuntista o en términos de desigualdades

Incluye únicamente uno de los extremos.

Con la notación $(a,b]\$ o bien $]a,b]\$ indicamos.

En notación conjuntista:

$I=(a,b],\quad \forall x\in I:\quad a<x\leq b$

Y con la notación $[a,b)\$ o bien $[a,b[\$ ,

En notación conjuntista:

$I=[a,b),\quad \forall x\in I:\quad a\leq x<b$

Los cuatro tipos de intervalos anteriores se llaman finitos; los expertos asignan como su longitud |b- a|. Son muy útiles en el análisis matemático y en los temas de topología general, para el estudios de diferentes operadores como clausura, interior, frontera, conexidad, etc. ² .

Intervalo infinito[editar · editar código]

Incluye un extremos e infinito por la derecha.

Con la notación $[a,\infty )\$ indicamos.

En notación conjuntista:

$I=[a,\infty ),\quad \forall x\in I:\quad a\leq x$

Sin incluir el extremo:

Y con la notación $(a,\infty )$ ,

$I=(a,\infty ),\quad \forall x\in I:\quad a<x$

Incluye un extremos e infinito por la izquierda.

Con la notación $(-\infty ,a]\$ indicamos.

En notación conjuntista:

$I=(-\infty ,a],\quad \forall x\in I:\quad x\leq a$

Sin incluir el extremo:

Y con la notación $(-\infty ,a)$ ,

En notación conjuntista:

$I=(-\infty ,a),\quad \forall x\in I:\quad x<a$

Para todo valor real:

Y con la notación $(-\infty ,\infty )$ ,

En notación conjuntista:

$I=(-\infty ,\infty ),\quad \forall x\in R$

Operaciones con intervalos[editar · editar código]

En notación conjuntista: supongamos el conjunto A:

$A=\{x,\;x\in R:\quad x<4\}$

Esto se lee: A son todos los x reales tales que x es menor que cuatro.

Y el conjunto B:

$B=\{x,\;x\in R:\quad 9<x\}$

El conjunto B abarca todos los x, reales, mayores que nueve.

El conjunto unión de A y B sería:

$A\cup B=\{x,\;x\in R:\quad x<4\;\lor \;9<x\}$

O también se puede anotar:

$x\in (-\infty ,4)\cup (9,\infty )$

La unión de dos o más conjuntos es tomar todos los puntos pertenecientes a cada conjunto.

El conjunto intersección de A y B no existe:

$A\cap B=\{x,\;x\in R:\quad x<4\;\land \;9<x\}$

porque A y B no tienen puntos en común.

$A\cap B=\varnothing$

Definido el conjunto C:

$C=\{x,\;x\in R:\quad -3<x<15\}$

Es decir, que el conjunto C toma valores entre -3 y 15, siempre siendo x un número real.

El conjunto intersección de A y C es:

$A\cap C=\{x,\;x\in R:\quad -3<x<4\}$

El conjunto intersección es aquel que toma los valores en común entre todos los conjuntos incluidos.

Entorno simétrico[editar · editar código]

Artículo principal: Entorno (matemática)

Un entorno simétrico o entorno de centro a y radio r se representa:

Con la notación $E(a,r)\$ indicamos.

$I=E(a,r),\quad \forall x\in I:\quad a-r<x<a+r$

Entorno reducido[editar · editar código]

Un entorno reducido de centro a y radio r se representa:

Con la notación $E^{{\star }}(a,r)\$ indicamos.

$I=E^{{\star }}(a,r),\quad \forall x\in I:\quad x\in E(a,r)\;-\;\{a\}$

Un entorno reducido de un punto p es un entorno de p, menos {p}. Por ejemplo, el [[intervalo (−1, 1) = {y : −1 < y < 1} es un entorno de p = 0 en la recta real, entonces el conjunto (−1, 0) ∪ (0, 1) = (−1, 1) − {0} es un entorno reducido de 0.

Si a > b, los intervalos descritos no poseen elementos y denotan al conjunto vacío.
(a,a), [a,a) y (a,a] denotan también al conjunto vacío.
[a,a] denota al conjunto unitario {a}, también llamado intervalo degenerado.
Estas notaciones también se utilizan en otras áreas de las matemáticas; por ejemplo, la notación $(a,b)\$ , denota un par ordenadoen teoría de conjuntos; las coordenadas de un punto o un vector en geometría analítica y álgebra lineal; un número complejo enálgebra.
Ambas notaciones admiten el símbolo de infinito ( $\infty$ ) para indicar que no hay cota.

Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita).

La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo:

Notación	Intervalo	Longitud	Descripción
$[a,b]\,$	$a\leq x\leq b$	$b-a\,$	Intervalo cerrado de longitud finita.
$[a,b[\ \ {\mathrm {{\acute o}}}\ \ [a,b)\!$	$a\leq x<b\!$	$b-a\,$	Intervalo semiabierto (cerrado en a, abierto en b).
$]a,b]\ \ {\mathrm {{\acute o}}}\ \ (a,b]\!$	$a<x\leq b$	$b-a\,$	Intervalo semiabierto (abierto en a, cerrado en b).
$]a,b[\ \ {\mathrm {{\acute o}}}\ \ (a,b)\!$	$a<x<b\!$	$b-a\,$	Intervalo abierto.
$]-\infty ,b[\ \ {\mathrm {{\acute o}}}\ \ (-\infty ,b)\!$	$x<b\!$	$\infty$	Intervalo semiabierto.
$]-\infty ,b]\ \ {\mathrm {{\acute o}}}\ \ (-\infty ,b]\!$	$x\leq b\!$	$\infty$	Intervalo semiabierto.
$[a,\infty [\ \ {\mathrm {{\acute o}}}\ \ [a,\infty )\!$	$x\geq a\!$	$\infty$	Intervalo semiabierto.
$]a,\infty [\ \ {\mathrm {{\acute o}}}\ \ (a,\infty )\!$	$x>a\!$	$\infty$	Intervalo semiabierto.
$]\infty ,+\infty [\ \ {\mathrm {{\acute o}}}\ \ (\infty ,+\infty )\!$	$x\in {\mathbb {R}}\!$	$\infty$	Intervalo a la vez abierto y cerrado.
$\{a\}\!$	$x=a\!$	$0\!$	Intervalo cerrado de longitud nula (intervalo degenerado).
$\{\}=\emptyset \!$	x no existe	Sin longitud.	Conjunto vacío.

Propiedades

La intersección de intervalos de $\mathbb{R}$ es también un intervalo.

La unión de intervalos de $\mathbb{R}$ no siempre es un intervalo (lo será si la intersección es no vacía).

Las partes conexas de $\mathbb{R}$ son exactamente los intervalos.

Los intervalos cerrados sobre una recta se denominan «segmento de recta».

La imagen por una función continua de un intervalo de $\mathbb{R}$ es un intervalo de $\mathbb{R}$ . Esta es una formulación del Teorema del valor intermedio.

EJEMPLOS

Gráfica de una función en un intervalo.

Transformación lineal de intervalos.

Transformación lineal de intervalos.

Línea numérica.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).

Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o losreales, entonces pueden ser comparados.

La notación a < b significa a es menor que b;

La notación a > b significa a es mayor que b;

estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual ab; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".

La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;

La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;

estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).

La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;

La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b;

esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.

La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.

EJEMPLOS DE LAS PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

Primero te digo que no conozco el álgebra de Baldor, pero si conzco bién las propiedades de las desigualdades.
Propiedad 1. Si a una desigualdad le sumamos a ambos miembros un número real, la desigualdad no cambia de sentido
Eje1
8 > 5
8+4 > 5+4
12 > 9
Eje2
-2 < 6
-2 + 7 < 6+7
5 < 13
Propiedad 2. Si a una desigualdad le restamos a ambos miembros un número real, la desigualdad no cambia de sentido
Eje1
8 > 5
8-4 > 5-4
4 > 1
Eje2
-2< 6
-2 - 7 < 6-7
-9 < -1
Propiedad 3. Si a una desigualdad la multiplicamos a ambos miembros un número real positivo, la desigualdad no cambia de sentido
Eje1
8 > 5
84 > 54
32 > 20
Eje2
-2< 6
-2 7 < 67
-14 < 42
Propiedad 4. Si a una desigualdad la multiplicamos a ambos miembros un número real negativo, la desigualdad cambia de sentido
Eje1
8 > 5
8(-4) < 5(-4)
-32 < -20
Eje2
-2< 6
-2 (-7) > 6(-7)
14 > -42
Propiedad 5. Si a una desigualdad la dividimos a ambos miembros un número real positivo, la desigualdad no cambia de sentido
Eje1
20 > 5
20/5 > 5/5
4 > 1
Eje2
-2< 6
-2 /2 < 6/2
-1 < 3
Propiedad 6. Si a una desigualdad la dividimos a ambos miembros un número real negativo, la desigualdad cambia de sentido
Eje1
40 > 20
40/(-10) < 20/(-10)
-4 < -2
Eje2
-2< 6
-2 /(-2) > 6/(-2)
1 > -3
Propiedad 7 Si a y b son dos números reales, entonces
a * b < 0, si y solo si a < 0 y b > 0, ó a> 0 y b < 0
(-4)5 = -20
2(-5) = -10
Propiedad 8 Si a y b son dos números reales, entonces
a * b > 0, si y solo si a > 0 y b > 0, ó a< 0 y b < 0
25 = 10
(-2)(-8) = 16

RESOLUCIÓN DE DE PROBLEMAS DE DESIGUALDAD

PROBLEMAS DE DESIGUALDADES DE CUADRÁTICAS, RACIONALES Y DE VALOR ABSOLUTO

GRÁFICAS DE DESIGUALDAD

La gráfica de una sola desigualdad lineal divide el eje de coordenadas en dos regiones, A un lado están todas las soluciones posibles de la desigualdad. Al otro lado, no hay soluciones. Considera la gráfica de la desigualdad y < 2x + 5.

La línea punteada es y = 2x + 5. Cada par ordenado en el área sombreada a la derecha de la línea es una solución de y < 2x + 5. ¿Escéptico? Intenta sustituyendo las coordenadas x y y de los Puntos A y B en la desigualdad — verás que funcionan.

La región sombreada, el área del plano que contiene todas las soluciones posibles a la desigualdad, se llama región limitada. La línea que marca el límite de la región se llama lógicamente línea límite. En este caso, está punteada porque los puntos sobre la recta no satisfacen la desigualdad. Si lo hicieran, como lo sería con la desigualdad y ≤ 2x + 5, entonces la línea límite sería sólida.

Grafiquemos otra desigualdad: y > -x. Esta desigualdad también define un medio plano. Los puntos M y N están graficados dentro de la región limitada. Esto significa que ambos puntos producen declaraciones válidas cuando sus coordenadas x y y son sustituidas en la desigualdad y > -x.

Para crear un sistema de desigualdades, necesitamos graficar dos o más desigualdades juntas. Usemos y < 2x + 5 y y > -x ya que conocemos sus gráficas independientes.

¿Observas el área púrpura, donde las regiones límite de las dos desigualdades se sobreponen? Esta es la solución del sistema de desigualdades. Cualquier punto dentro de esta región púrpura será válido para y > ‑x y para y < 2x + 5. Ambas desigualdades definen regiones límite más grandes, pero el rango posible de soluciones para el sistema consistirá en una región limitada más pequeña que es la que tienen en común.

En la gráfica, puedes ver que los puntos B y N son soluciones posibles para el sistema porque sus coordenadas volverán a ambas desigualdades declaraciones verdaderas.

En contraste, los puntos M y A están fuera de la región limitada compartida, Mientras que M es todavía una posible solución de la desigualdad y > -x y el punto A es todavía una posible solución de la desigualdad y < 2x + 5, ningún punto es una solución válida para el sistema.

2. Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A⁻¹.

F₂ − F₁	F₃ + F₂

F₂ − F₃	F₁ + F₂

(−1) F₂	La matriz inversa es:

Calcular por el método de Gauss la matriz inversa de:

1 Construir una matriz del tipo M = (A | I)

2 Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A⁻¹.